AMC-AIME-USAMO构成了美国数学竞赛体系的三级金字塔。对11–12年级学生来说，理解每一级的门槛、时间间隔和知识储备要求，是制定 realistic 规划的前提。很多选手在第一级（AMC12）投入过多精力，到了第三级（USAMO）才发现时间不够用——这不是能力问题，是链条设计的问题。
一、三级金字塔的基本参数
| 考试名称 | 题量/时长 | 形式 | 晋级门槛 | 全球规模 |
|---|---|---|---|---|
| AMC12 | 25题/75分钟 | 选择题 | 无，自由报名 | 约10万人 |
| AIME | 15题/180分钟 | 填空题 | AMC12≥85分（2027起固定线） | 约6000–7000人 |
| USAMO | 6题/9小时（两天） | 证明题 | 指数排名约前500名 | 约500人 |
从第一级到第三级，参赛人数从10万压缩到500，淘汰率99.5%。这个链条的设计意图是：AMC筛选"有数学兴趣的学生"，AIME筛选"有竞赛数学能力的学生"，USAMO筛选"有研究数学潜质的学生"。每一级的考察维度都不同。
二、第一级到第二级：AMC12→AIME的门槛与准备
门槛： AMC12固定85分（2027起）
85分在AMC12的计分体系中是什么概念？
答对12题 + 空13题 = 72 + 19.5 = 91.5分，已经过线。
答对11题 + 空14题 = 66 + 21 = 87分，也过线。
这意味着AMC12选手只需要稳定做出前11–12题，不需要碰后13题，就能拿到AIME资格。
时间间隔： AMC12通常在11月中旬，AIME在次年2月上旬，约3个月。
知识储备要求：
AMC12的知识范围覆盖：代数（含对数、复数）、几何（含三角函数）、数论（基础同余、质因数分解）、组合（排列组合、基础概率）。AIME在此基础上加深，并增加：高次同余方程、费马小定理、递推计数、生成函数等。
从AMC12到AIME的知识增量约为30–40%，但思维转换的成本远高于知识增量。AMC12是"在选项里找答案"，AIME是"从零构造答案"。这个转换需要至少6–8周的系统训练。
三、第二级到第三级：AIME→USAMO的门槛与准备
门槛： USAMO指数 = AMC12分数 + 20×AIME分数，按当年全体考生排名划定cutoff。
由于cutoff每年浮动，可以参考近年数据：USAMO指数通常在220–240分之间，USAJMO指数通常在210–230分之间。
时间间隔： AIME在2月上旬，USAMO在3月下旬，约6–8周。
知识储备要求：
USAMO是纯证明题，与AIME的"求答案"模式完全不同。AIME只需要给出正确的数字，USAMO需要给出完整的逻辑证明。这要求选手具备：
严谨的数学语言表达能力
构造性证明与反证法的熟练运用
对高等数学初等化的理解（如不等式的放缩技巧、组合构造的极端原理）
从AIME到USAMO的能力跳跃，比从AMC12到AIME的跳跃更大。很多AIME能拿12分的学生，第一次做USAMO真题可能一道完整证明都写不出来。
四、三段链条的时间线整合
假设一名学生从11年级上学期开始，完整经历三级链条：
| 时间节点 | 事件 | 备考重点 |
|---|---|---|
| 9月–10月 | AMC12冲刺 | 稳过85分晋级线，目标120分以上 |
| 11月中 | AMC12考试 | — |
| 11月下–12月 | AIME过渡期 | 适应填空题，补全知识缺口 |
| 1月 | AIME强化期 | 系统训练四大模块，重点第6–10题 |
| 2月上 | AIME考试 | — |
| 2月中–3月上 | USAMO预备期 | 学习证明格式，完成5套以上USAMO真题 |
| 3月下 | USAMO考试 | — |
这个时间表的问题在于：从AMC12到AIME只有3个月，从AIME到USAMO只有6周。如果学生在11年级上学期之前没有接触过AIME，3个月的过渡非常紧张。如果学生在AIME之前没有接触过USAMO风格的证明题，6周的时间几乎不可能完成能力构建。
因此，三段链条的规划必须从10年级甚至更早开始。理想情况下：
G9：首次参加AMC10，接触AIME前5题
G10：AMC10冲击高分，首次参加AIME，目标6分以上
G11：转AMC12，AIME冲击10分以上，开始USAMO预备
G12：AMC12最后机会，AIME冲击12分以上，USAMO全力冲刺
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